一、最简单的推理步骤
1
把共同首项设成 1
因为 a₁=b₁>0，整体乘一个正数不影响大小比较，所以可以简单设：
因为 a₁=b₁>0，整体乘一个正数不影响大小比较，所以可以简单设：
a₁=b₁=1
2
设等比公比为 q
正项等比数列，所以 q>0。于是：
正项等比数列，所以 q>0。于是：
bₙ=qⁿ⁻¹
3
用 a₅=b₉ 求公差 d
因为 b₉=q⁸，所以 a₅=q⁸。
等差数列从 a₁=1 到 a₅=q⁸，中间隔 4 个公差：
因为 b₉=q⁸，所以 a₅=q⁸。
等差数列从 a₁=1 到 a₅=q⁸，中间隔 4 个公差：
d=(q⁸−1)/4
4
写出等差数列通项
aₙ=1+(n−1)(q⁸−1)/4
这一步完成后，所有比较都只看 q。
二、当前 q 下的数值表
注意：表格只是帮助理解。真正考试时主要用上面的公式推。
三、四个选项怎么快速判断
四、为什么 C 正确：极简证明
C 的条件是：
a₁>a₉
等差数列里，如果 a₁>a₉，说明数列往后变小，所以：
d<0
又因为：
d=(q⁸−1)/4
所以：
q⁸−1<0，即 0<q<1
现在比较：
a₁₀=1+9d=(9q⁸−5)/4
b₁₀=q⁹
看差值：
b₁₀−a₁₀ = q⁹ − (9q⁸−5)/4
= [4q⁹−9q⁸+5]/4
当 0<q<1 时，上式大于 0，所以：
b₁₀−a₁₀>0
a₁₀<b₁₀
正确答案：C
五、考试版最简写法
设 a₁=b₁=1，bₙ=qⁿ⁻¹，q>0。
由 a₅=b₉，得 a₅=q⁸。
所以 d=(q⁸−1)/4。
于是 aₙ=1+(n−1)(q⁸−1)/4。
A：取 q=2，a₃=(1+q⁸)/2>q²=b₃，错。
B：a₅>b₇ ⇔ q⁸>q⁶ ⇔ q>1，不恒成立，错。
C：a₁>a₉ ⇒ d<0 ⇒ 0<q<1。此时可证 a₁₀<b₁₀，正确。
D：a₁<a₉ ⇒ q>1。取 q=3/2，可得 a₁₀>b₁₀，错。
故选 C。
由 a₅=b₉，得 a₅=q⁸。
所以 d=(q⁸−1)/4。
于是 aₙ=1+(n−1)(q⁸−1)/4。
A：取 q=2，a₃=(1+q⁸)/2>q²=b₃，错。
B：a₅>b₇ ⇔ q⁸>q⁶ ⇔ q>1，不恒成立，错。
C：a₁>a₉ ⇒ d<0 ⇒ 0<q<1。此时可证 a₁₀<b₁₀，正确。
D：a₁<a₉ ⇒ q>1。取 q=3/2，可得 a₁₀>b₁₀，错。
故选 C。